“Pivô! Pivô! Pivô!” Fãs da série Amigos lembre-se desta cena cult em que Ross, Rachel e Chandler tentam mover um sofá por uma escada estreita. Este problema do sofá existe e tem resistido à investigação matemática desde que foi formulado pelo matemático austríaco-canadense Leo Moser em 1966. Envolve encontrar a maior área possível de um sofá para que ele possa ser movido horizontalmente em um corredor de uma unidade de largura (digamos que uma unidade corresponda a um metro) e fornecido com um ângulo reto. Durante 60 anos, os matemáticos têm arrancado os cabelos por causa desta questão aparentemente simples. E na realidade muito mais complicado do que parece!
Um enigma que persiste há 60 anos
Em 1968, o matemático britânico John Hammersley descobriu que ao não considerar mais um sofá reto como Leo Moser o formulou, mas sim curvo, tornou-se possível movimentar um sofá maior, a cavidade permitindo que ele passasse pelo canto do corredor. Ele também propôs um limite de tamanho inferior (a fórmula inclui π, o símbolo de pi): π/2 + 2/π ou aproximadamente 2,2074 unidades.
Ilustração do enigma do sofá. Créditos: Claudio Rocchini/Wikipédia
Demorou quase um quarto de século e vários estudos para chegar a um intervalo: a área de superfície máxima deveria estar entre 2,2195 e 2,37. O limite superior foi estabelecido computacionalmente por dois matemáticos americanos em 2018. O limite inferior em 1992 por Joseph Gerver. Este professor da Universidade Rutgers (Estados Unidos) também determinou qual o formato ideal que o sofá deveria ter: ao formato em U, ele adicionou bordas arredondadas e um lado plano. Na realidade, o seu sofá tem uma forma muito mais complexa composta por 18 secções curvas, permitindo optimizar ao máximo a superfície (ver imagem abaixo).
O sofá de Joseph Gerver é composto por 18 seções curvas. Créditos: TilmannR/Wikipedia
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115 páginas de demonstrações matemáticas
Com base neste resultado, Jineon Baek, estudante de pós-doutorado na Universidade Yonsei em Seul (Coreia do Sul) publicou sua solução no servidor de publicação arXiv em dezembro de 2024. É uma das descobertas matemáticas do ano de 2025 para a revista CientíficoAmericano. Ao adoptar uma abordagem cuidadosa e exaustiva, não só confirmou a forma estabelecida por Gerver e este volume máximo de 2.2195 unidades. Mas ele também calculou todos os passos da progressão do sofá no canto do corredor com todos os movimentos possíveis resultando numa demonstração de 115 páginas! Por enquanto, o trabalho de Jineon Baek ainda aguarda verificação e validação por outros matemáticos. Mas um dos enigmas geométricos mais difíceis do século XX pode muito bem ter sido resolvido.
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Minhoca e plano de mesa
O teórico original do problema do sofá, Leo Moser, também foi o autor de um problema relacionado, o chamado problema da “minhoca e cobertor”, que afirma: “Mamãe minhoca quer cobrir sua prole (uma unidade de comprimento) com um cobertor e ela quer que ele fique completamente coberto, independentemente da forma curva que ela escolher para adormecer. Que formato ela deve dar ao cobertor para que ele tenha a menor área de superfície possível?” Atualmente, este espinhoso enigma permanece em aberto.
E o mundo da matemática está cheio de outros problemas inspirados na vida prática. Citemos, por exemplo, o dos agregados familiares: “de quantas maneiras diferentes podemos colocar vários casais heterossexuais monogâmicos à volta de uma mesa de modo a alternar homens e mulheres e não colocar ninguém ao lado do parceiro?” Um problema que deve ter feito muitos planejadores de casamento suarem frio…