Isso imediatamente parece nos permitir dizer coisas como “Nunca poderemos provar tudo, sempre haverá verdades que nos escapam! “, até “Mesmo um sistema tão robusto como a matemática acaba por ser incompleto, por isso qualquer tentativa de explicar o mundo logicamente está fadada ao fracasso! “ou novamente “Gödel provou que tudo é relativo e que nunca se pode ter certeza de nada! “Sem cair em frases tão exclamativas que quase se poderia dizer no tribunal, certos intelectuais também foram lá com a sua interpretação deste resultado.
Por exemplo, o filósofo Régis Debray transpôs a ideia para uma questão humana: uma sociedade não pode justificar-se apenas por si mesma, tal como a matemática não pode justificar-se pelas suas próprias regras. De facto, uma sociedade necessita de um princípio externo a si mesma, de uma transcendência, para se estruturar e legitimar. Esta transcendência pode assumir várias formas: Deus, a Razão, os Direitos Humanos, a Revolução… Porque se procura encontrar inteiramente o seu próprio fundamento, acaba por desabar ou por se ver num impasse.
Já o psicanalista Jacques Lacan está interessado na formulação segundo a qual qualquer sistema não contraditório não pode ser completo (porque existem proposições indecidíveis). Ele vê isto como uma confirmação da ideia de que qualquer sistema simbólico é fundamentalmente incompleto. A linguagem, que estrutura a nossa relação com o mundo e com o desejo, funciona como um sistema formal, mas é incapaz de dizer tudo. Sempre haverá uma falta, uma verdade indizível, um ponto de impossibilidade. Consequência: todo sujeito humano está dividido, cindido pela linguagem, e nunca poderá compreender-se completamente.
Tais interpretações, que deslizam do campo da lógica para os domínios humanos, têm certamente um elemento de beleza, mas têm sido duramente criticadas pela sua falta de rigor. Pensaremos em particular no livro Imposturas intelectuais (Odile Jacob, 1997) de Alain Sokal e Jean Bricmont, mas também para Prodígios e tonturas de analogia (Raisons d’agir, 1999) de Jacques Bouveresse, que denuncia o jogo de palavras e os deslizes que permitem reinterpretar em qualquer sentido uma proposição originalmente precisa e enunciada em termos matemáticos.
De uma forma simplificada, mas ainda correta, os teoremas de Gödel (porque existem dois) dizem o seguinte: primeiro, qualquer teoria na qual possamos fazer aritmética é incompleta, o que significa que há afirmações exprimíveis nesta teoria que não podem ser demonstradas nem refutadas nesta mesma teoria. Em termos ainda mais simples: pode ser impossível saber se um determinado resultado aritmético é verdadeiro ou falso, desde que se utilizem as ferramentas da teoria aritmética. Isto não significa que o resultado seja absolutamente improvável: abandonando a teoria aritmética (por exemplo, adicionando axiomas), talvez possamos alcançá-lo; simplesmente, permanecendo dentro do quadro restrito desta teoria, não teremos sucesso.
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A demonstração do limite da formalização da matemática
Em segundo lugar, numa teoria coerente (isto é, na qual não há nenhuma afirmação da qual se possa mostrar tanto a verdade como a falsidade), a afirmação da coerência da teoria em questão não pode ser demonstrada no âmbito desta mesma teoria. Como observa o matemático americano Raymond Smullyan, “Confiar na consistência de um sistema com o fundamento de que ele pode provar a sua própria consistência seria tão tolo quanto confiar na veracidade de uma pessoa com base no fato de que ela afirma sempre dizer a verdade”. “.
Estes são os principais resultados de um artigo que Gödel publicou em 1931 sob o título “Sobre as proposições formalmente indecidíveis de Princípios Matemáticos e sistemas relacionados”, sabendo que o Princípios Matemáticospublicados entre 1910 e 1913, são uma tentativa dos britânicos Alfred North Whitehead e Bertrand Russell de fundar a lógica moderna. Os teoremas de Gödel fazem assim parte de uma história muito precisa da formalização da matemática e mostram o limite lógico desta ambição no quadro, grosso modoaritmética e teoria dos conjuntos. Isto não se destina, portanto, a ser aplicado sem cautela a todas as áreas possíveis, porque nada diz que estes teoremas permanecerão válidos em outro lugar que não no contexto em que foram enunciados. O caso de Hércules enfrentando a Hidra nos dá uma estratégia para sair da incompletude: completar a teoria incompleta com axiomas adicionais (neste caso: ordinais infinitos). E dizemos a nós mesmos que poderíamos acabar “preenchendo” todas as lacunas, uma por uma, para obter uma teoria perfeitamente completa. Problema: há um número infinito de buracos!
Não importa: vamos inventar um computador capaz de funcionar por um tempo infinito (o que realmente não faz sentido) para tapar os buracos um por um, criando novos axiomas para cada buraco encontrado. Vamos ainda imaginar que funciona e que tapamos todos os buracos. Sabemos que então a nossa superteoria completa criará inconsistências: terá gerado afirmações contraditórias, sendo capaz de demonstrar tanto a verdade como a falsidade da mesma proposição. Isto é o que nos diz o primeiro teorema de Gödel. E foi isso que o lógico russo Leonid Levin verificou, através de uma investigação mais recente no início dos anos 2000. Mas isso é uma coisa terrível? Não necessariamente: isso significa que sempre haverá um número infinito de coisas para pesquisar e inventar em matemática. A infinidade de buracos numa teoria é também e sobretudo a infinidade das nossas possibilidades de desenvolvê-la!
A luta de Hércules contra a Hidra, um exemplo de indecidibilidade
Os matemáticos britânicos Laurie Kirby e Jeff Paris imaginaram um exemplo de indecidibilidade em 1982: Hércules versus a Hidra de Lerna, com algumas modificações do mito. A hidra é representada como um gráfico composto por tronco, pescoço e cabeça. Hércules só pode cortar cabeças. Quando uma cabeça é cortada, o pescoço correspondente (a última linha) desaparece, mas duas situações são possíveis: se esta cabeça estiver diretamente presa ao tronco, nada mais acontece.
Por outro lado, se esta cabeça estiver anexada a um nó, a hidra se regenera replicando a parte localizada abaixo do nó correspondente. A hidra replica esta parte tantas vezes quantas foi atingida por Hércules: assim, durante o primeiro corte, a hidra se replica uma vez enquanto se replica três vezes durante o terceiro corte.
Com o fenômeno da replicação, temos a impressão de que o número de cabeças da hidra aumentará infinitamente e que Hércules jamais se livrará delas. Na verdade, seja qual for a estratégia de Hércules (mesmo que ataque a hidra aleatoriamente), o número de cabeças acaba diminuindo depois de um certo tempo (que pode ser bastante longo, mas que sempre acaba acontecendo): isso se deve ao fato de que aos poucos as novas cabeças se aproximam do tronco e, portanto, acabarão sendo cortadas sem gerar replicação.
No entanto, Kirby e Paris mostraram que é impossível demonstrar que Hércules vencerá qualquer forma de Hidra se permanecermos dentro da teoria aritmética. Por outro lado, é possível demonstrar a vitória sistemática de Hércules se nos afastarmos da teoria aritmética: é de facto necessário acrescentar uma noção de infinito. Por que isso? Muito simplesmente porque a hidra terá sempre um número de cabeças inferior a um determinado número, mas esse “certo número” é potencialmente muito (muito) grande.
Não estamos falando aqui de infinito denotado ∞ mas de um conceito mais estruturado: “infinito ordinal”, denotado ω, e cujas propriedades são um tanto particulares. Por exemplo, ω + ω = 2 ω, bem como ω × ω = ω2 (enquanto ∞ + ∞ = ∞ e ∞ × ∞ = ∞). Podemos então modelar a “força” da hidra:
– cada cara vale 0;
– cada pescoço final vale 1;
– cada nó vale a soma dos pescoços correspondentes;
– cada pescoço não final vale ω elevado à potência do nó logo acima.
Podemos então mostrar que ao longo dos cortes a força da hidra diminui até chegar a zero. O que significa que todas as cabeças estão cortadas. Assim, a vitória de Hércules é uma parte indecidível da teoria aritmética que, no entanto, pode ser demonstrada ampliando a teoria aritmética usando a noção de ordinal infinito. Esta é, historicamente, a primeira ilustração relativamente simples de incompletude.
Por Antoine Houlou Garcia. Docente na Universidade de Trento (Itália), publicou em 2024 “E a maçã não caiu na cabeça de Newton. Essas mentirinhas que fizeram a história da ciência” (Albino Michel).